Frage zum Kriterium fuer lokale Biholomorphie.
Hallo!
Tollerweise ist eine holomorphe Abbildung eines Bereichs D ->> D'
genau dann lokal biholomorph um einen Punkt c aus D, wenn
f'(c) != 0.
Die eine Richtung folgt z.B. aus dem Umkehrsatz der rellen Analysis.
Ich frage mich gerade, wie man moeglichst schnell und freundlich
(*) f injektiv => f' != 0
zeigt.
Im FT 1-Buch von Remmert (S.221f) geht das so:
1. f^-1 ist stetig in D', da f offen.
2. Dann ist f^-1 schonmal fuer die Punkte w=f(z0) mit
f'(z0) != 0 komplex diff'bar.
3. Die Menge M der Stellen w=f(z0) mit f'(z0) = 0
ist diskret und abgeschlossen in D', also kann man
f^-1 zu einer holomorphen Fkt. heben.
4. Jetzt ist f^-1 auf ganz D' holomorph und aus
der Kettenregel folgt dann, dass f'(z) != 0
fuer z aus D.
Im FT-Buch von Lorenz (S. 113) geht das aehnlich:
1. Wie oben
2. Jetzt ist schon alles klar, mit einem
Satz, der eben sagt, dass wenn die Umkehrfkt.
stetig ist und f'(z) != 0 ist, dann f^-1 k.db.
ist, bzw. aus k.db. folgt, dass die Ableitung
nicht verschwindet.
Hier wird, wenn ich nicht was ueberlesen habe, der
Riemannsche Hebbarkeitssatz nicht benutzt, mir bleibt aber
dabei unklar, warum "aber alles klar" (loc.cit.) ist, denn
gerade (*) bleibt doch irgendwie unbewiesen?
Kann man (*) sonst noch irgendwie nett beweisen, ohne
*vorher* zu zeigen, dass f^-1 holomorph ist?
Gruesse, Florian
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