Re: ((a-b)^2)'

[Rolf Kleinknecht <ro_kl@t-online.de>]

Vergiß Dein sog. "totale Differential", zur Analysis mehrerer
Veränderlicher braucht es wirklich Kenntnisse.

Im konkreten Fall geht's aber auch "zu Fuß":

Es ist f(a, b) = (a-b)^2 zusammensetzbar als

(0)	f(a, b) = square( diff( a, b) )

vermöge 
	square : IR -> IR
	square( x) := x^2

	diff: IR x IR -> IR
	diff( a, b) := a - b

Sei I = [c, d] das Intervall der zulässigen Werte für a, b. 
( Im Konkreten: c = 1, d = 1024)

Zeige nacheinander für die Bildmengen der auf bestimmte Intervalle
eingeschränkten Funktionen:

(1)	Im( diff|[c,d]x[c,d]) = [c - d, d - c]
		( wieso?)
(2)	Im( square|[e, f] ) = max( e^2, f^2) für beliebige e <= f aus IR
		( Beachte den Verlauf der Quadratfunktion!)
(3)	Im( square|[-e,e] ) = [0, e^2] für e >= 0
		( Sonderfall (2) )
(4)	Im( f|[c,d]x[c,d]) 
	= Im( square(diff([c,d], [c,d]))	nach (0)
	= Im( square([c - d, d - c])		nach (1)
	= Im( square([-(d-c),(d-c)])		nach (3)
	= [0, (d-c)^2]

Damit ist (d-c)^2 = (4096-1)^2 tatsächlich der maximale Funktionswert.

Weiters sieht man: Jeder nichtnegative Wert <= dem Maximum ist im Bild.
Welches Paar z.B. wird von f auf y abgebildet?

Übrigens: Bei nur ganzzahligem Definitionsbereichen ( IZ statt IR)
ändert sich nichts, außer daß nun nurmehr alle nichtnegativen
Quadratzahlen <= dem Maximum im Bild sind. Welches Paar z.B. wird von f
auf y abgebildet?

--
rk

PS: Ich hoffe, Du bist jetzt im Bilde.